UNIDAD II. LOGICA MATEMATICA
RAZONAMIENTO INDUCTIVO: Es la conclusión general que se obtiene tomando como referencia un hecho particular.
Juan es un niño (hecho particular)
Todas las personas que se llamen Juan son niños (conclusiones generales)
Todos los niños se llaman Juan.
RAZONAMIENTO DEDUCTIVO: Es una conclusión particular que se obtiene a partir de un hecho general.
Todos los animales son seres vivos
El león es un animal
Entonces, el león es un ser vivo
PROPOSICION. Enunciado u oración que forzosamente deberá ser falsa o verdadera.
El 5 es un número natural (V)
Marte es un animal (F)
PROPOSICION SIMPLE: Una sola oración que será falsa o verdadera
PROPOSICION ABIERTA: Oración donde no está bien definido el sujeto que la compone. Es decir, cualquier elemento puede ser parte del conjunto.
PROPOSICIONES COMPUESTAS: Es la unión de dos proposiciones simples mediante un conectivo lógico (“y”, “o”, “si…entonces”)
Existen tres tipos de oraciones compuestas que son:
CONJUNCION: Es la unión de dos proposiciones simples unidas por el conectivo lógico “y”
Ejemplo: Laura es una mujer y piensa
El número cinco es número dígito y es impar
Para que una conjunción sea verdadera, las dos proposiciones deberán ser verdaderas.
Para que una conjunción sea falsa, una de las proposiciones deberá ser falsa.
La CONJUNCION, se representará como una INTERSECCION de conjuntos
X es número dígito y es número par
Primero determinamos, los elementos de la primer proposición
{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Después los elementos de la segunda proposición
{2,4,6,8,10,12…}
y vemos cuales son los números que cumplen con la condición de ser números dígitos y a la vez pares. En este caso el resultado sería:
{ 2,4,6,8}
El conjunto solución de esta CONJUNCION sería la INTERSECCIÓN entre el primer y segundo conjuntos, es decir, {2,4,6,8}.
DISYUNCION: Son dos proposiciones simples unidas mediante el conectivo lógico “ o”.
4 es par ó 5 es impar
7 es dígito ó 9 es natural
Para que una disyunción sea verdadera, cualquiera de las proposiciones será verdadera.
Una disyunción será falsa, únicamente cuando las dos proposiciones sean falsas.
Para encontrar el conjunto solución de una disyunción primero determinamos que elementos componen a cada una de las proposiciones y después las unimos como si se tratara de una UNION de conjuntos.
X es menor que 9 ó es divisor de 6
Conjunto de reemplazamiento de la primer proposición:
{1,2,3,4,5,6,7,8}
Conjunto de reemplazamiento de la segunda proposición:
{1,2,3,6}
Conjunto de verdad
{1,2,3,4,5,6,7,8} U {1,2,3,6} = {1,2,3,4,5,6,7,8}
El conjunto solución será la unión entre los dos conjuntos anteriores, esto es, {1,2,3,4,5,6,7,8}
NEGACION. Cuando en la proposición se niega el predicado.
4 es número par la negación sería 4 NO es número par.
La negación se representa como un conjunto complementario, es decir donde se toma en cuenta todo lo que no está incluido en la proposición.
A= { x es número par menor que 6 } la negación quedaría: A´= { x no es par menor que 6}
IMPLICACION. Es cuando se unen dos proposiciones mediante el conectivo lógico “ si… entonces”
Se considera un tipo razonamiento donde hay una hipótesis y una posible conclusión.
Ejemplo: Si un animal vuela, entonces es un ave.
En el diagrama de Venn la implicación se representa como un subconjunto, en donde la conclusión es el conjunto mayor y la hipótesis el subconjunto.
Si 3 es primo, entonces tiene solo dos divisores
VARIANTES DE LA IMPLICACION
CONVERSA. Se cambian de orden las proposiciones que componen la implicación y se respeta su conectivo lógico.
Si tiene alas, entonces vuela
Su conversa sería: Si vuela, entonces tiene alas
INVERSA. Se niega cada una de las proposiciones que componen la implicación.
Si es un animal, entonces, es un ser vivo.
Su inversa sería: Si no es un animal, entonces no es un ser vivo
CONTRAPOSITIVA. Se logra cuando se invierte el orden de las proposiciones y a la vez se niegan ambas.
Si x es mayor que 7, entonces x es mayor que 4
Su contrapositiva sería: Si x no es mayor que 4, entonces x no es mayor que 7
