martes, 1 de febrero de 2011

UNIDAD II. LOGICA MATEMATICA

UNIDAD II. LOGICA MATEMATICA

RAZONAMIENTO INDUCTIVO: Es la conclusión general que se obtiene tomando como referencia un hecho particular.

Juan es un niño (hecho particular)
Todas las personas que se llamen Juan son niños (conclusiones generales)
Todos los niños se llaman Juan.

RAZONAMIENTO DEDUCTIVO: Es una conclusión particular que se obtiene a partir de un hecho general.

Todos los animales son seres vivos
El león es un animal
Entonces, el león es un ser vivo


PROPOSICION. Enunciado u oración que forzosamente deberá ser falsa o verdadera.

El 5 es un número natural (V)
Marte es un animal (F)

PROPOSICION SIMPLE: Una sola oración que será falsa o verdadera

PROPOSICION ABIERTA: Oración donde no está bien definido el sujeto que la compone. Es decir, cualquier elemento puede ser parte del conjunto.

PROPOSICIONES COMPUESTAS: Es la unión de dos proposiciones simples mediante un conectivo lógico (“y”, “o”, “si…entonces”)

Existen tres tipos de oraciones compuestas que son:


CONJUNCION: Es la unión de dos proposiciones simples unidas por el conectivo lógico “y”

Ejemplo: Laura es una mujer y piensa
El número cinco es número dígito y es impar


Para que una conjunción sea verdadera, las dos proposiciones deberán ser verdaderas.
Para que una conjunción sea falsa, una de las proposiciones deberá ser falsa.


La CONJUNCION, se representará como una INTERSECCION de conjuntos

X es número dígito y es número par


Primero determinamos, los elementos de la primer proposición

{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Después los elementos de la segunda proposición

{2,4,6,8,10,12…}

y vemos cuales son los números que cumplen con la condición de ser números dígitos y a la vez pares. En este caso el resultado sería:

{ 2,4,6,8}

El conjunto solución de esta CONJUNCION sería la INTERSECCIÓN entre el primer y segundo conjuntos, es decir, {2,4,6,8}.


DISYUNCION: Son dos proposiciones simples unidas mediante el conectivo lógico “ o”.

4 es par ó 5 es impar

7 es dígito ó 9 es natural

Para que una disyunción sea verdadera, cualquiera de las proposiciones será verdadera.
Una disyunción será falsa, únicamente cuando las dos proposiciones sean falsas.

Para encontrar el conjunto solución de una disyunción primero determinamos que elementos componen a cada una de las proposiciones y después las unimos como si se tratara de una UNION de conjuntos.

X es menor que 9 ó es divisor de 6

Conjunto de reemplazamiento de la primer proposición:

{1,2,3,4,5,6,7,8}

Conjunto de reemplazamiento de la segunda proposición:

{1,2,3,6}

Conjunto de verdad

{1,2,3,4,5,6,7,8} U {1,2,3,6} = {1,2,3,4,5,6,7,8}

El conjunto solución será la unión entre los dos conjuntos anteriores, esto es, {1,2,3,4,5,6,7,8}


NEGACION. Cuando en la proposición se niega el predicado.

4 es número par la negación sería 4 NO es número par.

La negación se representa como un conjunto complementario, es decir donde se toma en cuenta todo lo que no está incluido en la proposición.

A= { x es número par menor que 6 } la negación quedaría: A´= { x no es par menor que 6}



IMPLICACION. Es cuando se unen dos proposiciones mediante el conectivo lógico “ si… entonces”

Se considera un tipo razonamiento donde hay una hipótesis y una posible conclusión.

Ejemplo: Si un animal vuela, entonces es un ave.

En el diagrama de Venn la implicación se representa como un subconjunto, en donde la conclusión es el conjunto mayor y la hipótesis el subconjunto.

Si 3 es primo, entonces tiene solo dos divisores

VARIANTES DE LA IMPLICACION

CONVERSA. Se cambian de orden las proposiciones que componen la implicación y se respeta su conectivo lógico.

Si tiene alas, entonces vuela
Su conversa sería: Si vuela, entonces tiene alas

INVERSA. Se niega cada una de las proposiciones que componen la implicación.

Si es un animal, entonces, es un ser vivo.
Su inversa sería: Si no es un animal, entonces no es un ser vivo
CONTRAPOSITIVA. Se logra cuando se invierte el orden de las proposiciones y a la vez se niegan ambas.

Si x es mayor que 7, entonces x es mayor que 4

Su contrapositiva sería: Si x no es mayor que 4, entonces x no es mayor que 7

lunes, 31 de enero de 2011

UNIDAD I. CONJUNTOS



INTRODUCCION



Medir y contar fueron las primeras actividades matemáticas del hombre primitivo y ambas nos conducen a los números. Haciendo marcas en los troncos de los arboles lograban los primeros pueblos la medición del tiempo y el conteo de los bienes que poseían; así surgió la aritmética.



Después de muchos siglos el hombre alcanzo un concepto mas abstracto de los números y de la relaciones entre ellos, y fue hacia fines del siglo XIX cuando Georg Cantor creo la teoría de conjuntos, pero no fue sino hasta casi los años veinte del presente siglo cuando se desarrollo como fundamento para el enfoque moderno de la matemática, por Gottob Frege, siendo Bertrand Russell quien completo, desarrollo y dio amplia publicidad a las aplicaciones de esta teoría. MODULO 1. CONJUNTOS




ESCRITURA DE CONJUNTOS


FORMA ENUMERATIVA (POR EXTENSION): Consiste en anotar todos los elementos que pertenecen al conjunto.




A= {0,1,2,3,4,5,6,7} B= {a,e,i,o,u}




FORMA DESCRIPTIVA (POR COMPRENSION): Consiste en anotar en forma escrita cuales son las características de los elementos que formarán el conjunto.




A= { x/x es un día de la semana} B= { x/x es un mes del año}




ORACION ABIERTA: Es toda oración en la que interviene alguna variable.




X es un número dígito x es un número par


CONJUNTO DE REEMPLAZAMIENTO:


Conjunto que nos proporciona los elementos para reemplazar a la variable en una oración abierta.



Para los ejemplos anteriores tendríamos: 7 , es un número dígito 6, es un número par



Esto es, en lugar de tener la variable, le asignamos un valor que haga verdadera la oración.




CONJUNTO DE VERDAD:



Son los elementos del conjunto de reemplazamiento que hacen que la oración sea verdadera.



Para el ejemplo anterior el conjunto de verdad sería:




{1,2,3,4,5,6,7,8,9} {2,4,6,8,10…}




VARIABLE: Una variable es una letra usada para representar a cualquier elemento del conjunto.




X, es un día de la semana



En este caso la x sirve para representar a: lunes, martes, miércoles, jueves, etc.



CONJUNTO FINITO: Es aquel en el que es posible determinar el número de elementos que a él pertenecen.


A= {x es número par menor que 20}




Los números pares menores que 20 serían: 2,4,6,8,10,12,14,16,18


En este conjunto puedo determinar cuantos elementos forman parte de mi conjunto.





CONJUNTO INFINITO: Es aquel en el no es posible terminar de enumerar sus elementos.




A= { números naturales}




Los números naturales son todos aquellos que utilizamos para contar, es decir no puedo determinar hasta que número abarca mi conjunto.





NUMEROS NATURALES: Son los que nos sirven para contar.



VIDEO l: CONJUNTOS





CONJUNTO UNIVERSAL: Esta formado por la totalidad de los elementos considerados para una determinada operación. Es equivalente al conjunto de reemplazamiento.



U= {números pares mayores que 4 y menores que 16}



Quiere decir que en este caso el conjunto de mas elementos tiene que contener los siguinetes valores: 6,8,10,12,14 ni un elemento más porque este sería el conjunto universal.




CONJUNTO VACIO: Es el conjunto que no tiene elementos.




A= {Números enteros pares mayores que 2 y menores que 4}




No existen números enteros que sean pares mayores que 2 y menores que 4 ya que son números consecutivos, en este caso se dice que es un conjunto vacío.





CONJUNTOS EQIVALENTES: Son aquellos que poseen la misma cardinalidad, aunque sus elementos sean diferentes.




A= { 1,2,3,4} B= {lápiz, goma, sacapuntas, libro}





N(A) = 4 n(B)= 4



Ambos conjuntos tienen 4 elementos aunque éstos sean diferentes.





CONJUNTOS IGUALES: Dos conjuntos son iguales , si son equivalentes y los elementos de uno son también los elementos del otro.



A= {1,3,5,7,9} B= {5,7,1,9,3}



Ambos conjuntos tienen los mismos elementos.





SUBCONJUNTO: Cuando los elementos de un conjunto también pertenecen a otro conjunto.



A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}


B= {3,4,5,6}



B C A se lee, B es subconjunto de A, quiere decir que B tiene parte de los elementos que tiene el conjunto A.





CONJUNTO COMPLEMENTARIO: Son los elementos que pertenecen al universo pero no están incluidos en el conjunto dado.



U= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}


A= {1,2,3,4}



A’= {5,6,7,8,9} Se lee A prima y quiere decir que es el conjunto que complementa al universo, esto es, son los elementos que le faltan al conjunto A para ser igual que el universo.





CONJUNTOS DISJUNTOS: Cuando hay dos conjuntos que no tienen ningún elemento en común.




A= {1,2,3,4} b= {5,6,7,8}


A y B no comparten ningún elemento, esto es, no tienen elementos comunes.




REPRESENTACION DE CONJUNTOS EN DIAGRAMAS DE VENN



Un diagrama de Venn, son figuras cerradas en el plano que nos sirven para esquematizar operaciones entre conjuntos. Se considera que cada figura encierra a los elementos del conjunto al cual representa.



OPERACIONES CON CONJUNTOS




UNION. Cuando se juntan los elementos de un conjunto con los elementos de otro conjunto, forman un tercer conjunto llamado unión, que se representa con la letra (U). Ejemplo:




A = {1, 2, 3, 4, 5}


B = {3, 5, 7, 9, 10}


A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10}




INTERSECCION. Se define como la operación entre dos conjuntos para obtener un tercero, cuyos elementos pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos. Se representa con el símbolo


Ejemplo:



A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}


B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}


A B = {2, 4, 6, 8, 10}




CONJUNTO COMPLEMENTO O COMPLEMENTARIO. Son los elementos que están en el universo pero no están en el conjunto representado y se representan con la letra que representa al conjunto y una comita arriba y se lee como “prima”


Ejemplo:



U = {letras del alfabeto}


A= {letras consonates}


A’ = {vocales}




VIDEO OPERACION DE CONJUNTOS



EJERCICIOS_2: OPERACION DE CONJUNTOS



PRESENTACION SEGUNDA PARTE: CONJUNTOS












INDICE GENERAL MATEMATICAS I

MATEMATICAS I

INDICE GENERAL

UNIDAD I

CONJUNTOS

MODULO 1

CONJUNTOS, NOTACION, ORACIONES ABIERTAS, VARIABLES, CONJUNTO DE REEMPLAZAMIENTO, CONJUNTO DE VERDAD

MODULO 2

CARDINALIDAD, CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS, CONJUNTO UNIVERSAL, CONJUNTO VACIO, CONJUNTOS EQUIVALENTES, CONJUNTOS IGUALES

MODULO 3

SUBCONJUNTOS

MODULO 4

OPERACIONES CON CONJUNTOS, COMPLEMENTO, GRAFICA DE UN CONJUNTO Y DE LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS, UNION DE CONJUNTOS, INTERSECCION DE CONJUNTOS, CONJUNTO COMPLEMENTO

UNIDAD II

ELEMENTOS DE LOGICA MATEMATICA

MODULO 5

INDUCCION Y DEDUCCION, PREPOSICIONES SIMPLES Y ABIERTAS, GRAFICA DE PROPOSICIONES

MODULO 6

PROPOSICIONES COMPUESTAS, CONJUNCION, DISYUNCION

MODULO 7

NEGACION, NEGACION DE PROPOSICIONES COPUESTAS, CUANTIFICADORES

MODULO 8

IMPLICACION, EQUIVALENCIA LOGICA, VARIANTES DE LA IMPLICACION, SILOGISMOS, DEMOSTRACIONES

UNIDAD III

LOS NUMEROS REALES

MODULO 9

SISTEMA MATEMATICO Y OPERACIONES BINARIAS, CONJUNTO DE NUMEROS REALES, PROPEDIADES DE LA IGUALDAD

MODULO 10

POSTULADOS DE CAMPO, ALGUNOS TEOREMAS IMPORTANTES

MODULO 11

ALGUNOS TEOREMAS IMPORTANTES SOBRE LOS INVERSOS, LA RESTA

MODULO 12

LA DIVISION, TEOREMA SOBRE FRACCIONES

UNIDAD IV

APLICACIONES

MODULO 13

TERMINOLOGIA, SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

MODULO 14

MULTIPICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS, EXPONENTES, DIVISION DE EXPRE-SIONES ALGEBRAICAS, POLINOMIOS

MODULO 15

PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACION

MODULO 16

SIMPLIFICACION DE FRACCIONES, SUMA DE FRACCIONES, MULTIPLICACION Y DIVISION DE FRACCIONES, SIMPLIFICACION DE FRACCIONES COMPLEJAS